12. Отрицательная ассоциация и four-corner¶

← 11. Блочное ядро · Оглавление · 13. Фрактальный слой →

В предыдущей главе 11 мы построили блочный мост twin_prime_conjecture_of_blocks: бесконечность близнецов следует, если на каждом масштабе N найдётся carrier с выживателем, причём «плохое» строго меньше carrier. Тем самым всё содержание задачи сжалось в одно блочное неравенство мощностей.

Настоящая глава берёт это неравенство и переводит его в язык счётов по рангам сторон $6m\pm1$, где оно принимает форму четырёхугольного (four-corner) соотношения. Мы покажем, что нужное направление N_{33}<N_{00} — не плотностной, а симметрийный факт: он форсируется отрицательной ассоциацией двух рангов, а та, в свою очередь, есть тень исключающей (per-prime) структуры двойки.

Счёты по рангам и матрица $N_{ij}$¶

Зафиксируем блок centers-кандидатов m (индексы survivor-класса на масштабе A).

Определение 12.1 (ранги сторон). Каждому центру m сопоставим пару рангов сторон $$r_-(m)=\bigl\lvert\{p\le A: p\mid 6m-1\}\bigr\rvert,\qquad r_+(m)=\bigl\lvert\{p\le A: p\mid 6m+1\}\bigr\rvert,\tag{12.1}$$ — число малых простых делителей левой и правой стороны соответственно. Центр — twin-центр тогда и только тогда, когда обе стороны свободны от малых делителей, то есть r_-=r_+=0 (после сита-до-корня это влечёт простоту обеих сторон; см. 10).

Примечание. Ранг здесь считает именно малые делители $p\le A$; полнота ранга (то, что нулевой ранг влечёт простоту) обеспечивается тем, что стороны лежат ниже A^2, — это тот же сито-до-корня механизм prime_of_no_small_prime_factor из 10.

Огрубим ранги до бинарного признака «нулевой / ненулевой» и введём матрицу счётов $2\times2$ по паре $(\,[r_-{>}0]\,,[r_+{>}0]\,)$:

\[ \begin{array}{c|cc} & r_+=0 & r_+>0\\\hline r_-=0 & N_{00} & N_{03}\\ r_->0 & N_{30} & N_{33} \end{array} \]

Здесь $N_{00}$ — число центров с обеими чистыми сторонами (это и есть twin-центры), $N_{33}$ — центры, у которых обе стороны «испорчены» малым делителем, а $N_{03},N_{30}$ — смешанные (одна сторона чистая, другая нет). Индексация 0/3 — наследие ранговой шкалы 0..3 исходников; цифра 3 кодирует «ненулевой ранг».

Наша цель на этой главе — сравнить угловые счёты: доказать, что диагональ N_{33} (обе испорчены) уступает противоположному углу N_{00} (обе чисты). Это ровно то, что даёт нижнюю оценку на twin-центры внутри блока.

Ранг-1 приближение и знак ранг-2 поправки¶

Естественно предположить, что в первом приближении признаки порчи левой и правой сторон независимы. Если бы вероятности $\Pr[r_->0]=\pi_-$ и $\Pr[r_+>0]=\pi_+$ были независимы, матрица счётов $N_{ij}$ была бы ранга 1:

\[ N_{ij}\ \approx\ T\cdot u_i\, v_j,\qquad u=(1-\pi_-,\ \pi_-),\quad v=(1-\pi_+,\ \pi_+), \]

где T — общее число центров. Для ранг-1 матрицы все четыре $2\times2$-минора обнуляются, в частности выполняется точное равенство $$N_{00}\,N_{33}\ =\ N_{03}\,N_{30}.\tag{12.2}$$

Наблюдение: реальная матрица счётов не ранга 1 — есть поправка ранга 2, и весь вопрос в её знаке.

Определение 12.2 (четырёхугольный дефект). Положим $$\boxed{\ \Delta_{\mathrm{fc}}\ :=\ N_{03}\,N_{30}-N_{00}\,N_{33}\ }\tag{12.3}$$ — это (с точностью до нормировки) определитель матрицы счётов, то есть амплитуда её ранг-2 части. Знак $\Delta_{\mathrm{fc}}$ есть знак ковариации бинарных рангов: $$\mathrm{sgn}\,\Delta_{\mathrm{fc}}\ =\ -\,\mathrm{sgn}\,\mathrm{Cov}\big([r_-{>}0],[r_+{>}0]\big).$$

Условие $\Delta_{\mathrm{fc}}\ge0$, то есть $$N_{00}\,N_{33}\ \le\ N_{03}\,N_{30},\tag{12.4}$$ называется four-corner-неравенством и эквивалентно отрицательной ассоциации рангов: испорченность одной стороны делает испорченность другой менее вероятной. Именно этот знак нам нужен, и именно он не случаен.

Почему знак отрицательный: исключающая структура двойки¶

Отрицательная ассоциация здесь не постулируется — она вытекает из уже доказанной эксклюзивности делителей (см. 02, no_large_shared_divisor): простое p>2 не может делить обе стороны сразу, ибо $\gcd(6m-1,6m+1)\mid 2$. Следовательно на каждом простом вклад в два ранга исключающий: p делит либо 6m-1, либо 6m+1, либо ничего, но никогда оба.

Отсюда per-prime производящая функция рангов есть произведение по простым без перекрёстного члена:

\[ \prod_{2<p\le A}\big(c_p+a_p\,x+b_p\,y\big),\qquad a_p=b_p\ (\pm\text{симметрия}),\ \textbf{нет члена }xy, \]

где x метит вклад в r_-, y — в r_+, а отсутствие xy — прямое следствие того, что «оба сразу» запрещено.

Раскрытие такого произведения даёт на каждом простом $$\mathrm{Cov}\big(\mathbf 1_{p\mid-},\mathbf 1_{p\mid+}\big)=0-a_pb_p=-a_pb_p<0,$$ и суммирование по простым слоя сохраняет знак: $$\mathrm{Cov}(r_-,r_+)=\sum_{p}(-a_pb_p)<0.$$ Отрицательная ковариация рангов — это в точности four-corner.

Вывод. Знак форсируется исключающей структурой двойки, а не плотностью простых.

Примечание. В CRT-модели то же неравенство выводится чисто симметрийно — через неравенство Маклорена на элементарных симметрических многочленах: $R_{\mathrm{CRT}}=20\,e_6/e_3^2\le 20\binom{s}{6}/\binom{s}{3}^2<1$. Это подтверждает, что four-corner — свойство формы продукта c+ax+by, а не аналитических оценок счёта простых.

Алгебра перехода: four-corner + side-corner ⟹ $N_{33}<N_{00}$¶

Само four-corner-неравенство сравнивает диагональ N_{00}N_{33} со смешанным произведением N_{03}N_{30}. Чтобы получить искомое N_{33}<N_{00}, к нему нужен второй, боковой ингредиент — side-corner: $$N_{03}\,N_{30}\ \le\ N_{00}^{\,2}.\tag{12.5}$$ Он говорит, что смешанные углы малы по сравнению с чистым: низкий ранг заметно вероятнее высокого (та же рекурсия $q\to q-2$ выживателей), поэтому чистый угол N_{00} доминирует. Формально мы формализовали именно алгебру перехода — то, что эти два неравенства вместе форсируют вывод.

Нестрогий переход — лемма:

Теорема 12.3 (N33_le_N00_of_four_corner). Пусть $N_{00},N_{03},N_{30},N_{33}\in\mathbb N$. Если $0<N_{00}$, выполнено four-corner $N_{00}\,N_{33}\le N_{03}\,N_{30}$ и side-corner $N_{03}\,N_{30}\le N_{00}^{2}$, то $N_{33}\le N_{00}$. 🟢

Доказательство элементарно: цепочка $N_{00}N_{33}\le N_{03}N_{30}\le N_{00}\cdot N_{00}$ даёт $N_{00}N_{33}\le N_{00}N_{00}$, откуда сокращением на положительный множитель N_{00} (Nat.le_of_mul_le_mul_left) следует $N_{33}\le N_{00}$.

Строгую форму — то, что нам действительно нужно (строгий зазор B_5>0, то есть больше чистых центров, чем полностью испорченных) — даёт лемма:

Теорема 12.4 (N33_lt_N00_of_four_corner). Пусть $N_{00},N_{03},N_{30},N_{33}\in\mathbb N$. Если $0<N_{00}$, выполнено строгое four-corner $N_{00}\,N_{33}<N_{03}\,N_{30}$ и side-corner $N_{03}\,N_{30}\le N_{00}^{2}$, то $N_{33}<N_{00}$. 🟢

Здесь строгое неравенство $N_{00}N_{33}<N_{03}N_{30}$ протягивается через side-corner до $N_{00}N_{33}<N_{00}N_{00}$, и lt_of_mul_lt_mul_left сокращает N_{00} слева, давая строгий вывод.

Наконец, $\pm$ симметрия сторон существенно упрощает side-corner. Поскольку левая и правая стороны входят в продукт симметрично ($a_p=b_p$), смешанные углы равны: $N_{03}=N_{30}$. Лемма side_corner_of_le фиксирует это упрощение:

Теорема 12.5 (side_corner_of_le). Пусть $N_{00},N_{03},N_{30}\in\mathbb N$. Если $N_{03}=N_{30}$ и $N_{03}\le N_{00}$, то выполнено side-corner $N_{03}\,N_{30}\le N_{00}^{2}$. 🟢

Подстановка симметрии сводит квадратичное неравенство $N_{03}N_{30}\le N_{00}^2$ к произведению двух одинаковых сомножителей $N_{03}\cdot N_{03}\le N_{00}\cdot N_{00}$, каждый из которых мажорируется по $N_{03}\le N_{00}$ (Nat.mul_le_mul). Таким образом весь боковой узел упирается в один линейный факт: смешанных центров не больше, чем чисто-twin-центров.

Примечание. Все три леммы N33_le_N00_of_four_corner, N33_lt_N00_of_four_corner, side_corner_of_le — над $\mathbb N$, машинно проверены и не используют sorry. Они формализуют алгебру перехода, а не сами угловые неравенства.

Численный фон и величины¶

Обозначим отношения углов $$R_{\mathrm{fc}}=\frac{N_{00}N_{33}}{N_{03}N_{30}},\qquad R_{\mathrm{sc}}=\frac{N_{03}N_{30}}{N_{00}^{2}}.$$ Тогда доля полностью-испорченных к чистым факторизуется: $$\frac{N_{33}}{N_{00}}=R_{\mathrm{fc}}\cdot R_{\mathrm{sc}}.$$

Численно (tools/RESULTS_fourcorner.md) направление держится на всех блоках: $R_{\mathrm{fc}}<1$ всюду, с ростом слоя $R_{\mathrm{fc}}$ поднимается снизу к 1 ($0.876\to0.977$ на $k=21\dots28$), а боковое отношение остаётся устойчиво малым, $R_{\mathrm{sc}}\approx0.014$. Отсюда $$\frac{N_{33}}{N_{00}}\le(1+o(1))\cdot0.014\ll1,$$ и для строгого N_{33}<N_{00} запас four-corner не нужен — достаточно самого направления $R_{\mathrm{fc}}\le1$ плюс малости $R_{\mathrm{sc}}$.

Примечание. То, что $R_{\mathrm{fc}}\to1$ снизу, а не отскакивает от 1, — тоже структурно: попарные корреляции малы ($a_pb_p\sim p^{-2}$), их сумма по слою $(A,A^2]$ стремится к нулю, ранги становятся асимптотически независимыми. Эксклюзивность запрещает перейти отметку 1, поэтому предел достигается строго снизу. Но именно эта туго́сть у 1 и прячет проблему чётности — см. ниже.

Где узел открыт: гипотеза и план закрытия¶

Формализованные три леммы дают переход, но не сами угловые неравенства для реальных счётов. Честная граница — в домовом смысле честно названного открытого узла (см. словарь) — проходит здесь.

Гипотеза 12.6 (реальный four-corner). Для реальных CRT-счётов survivor-блока на масштабе A выполняется строгое $N_{00}N_{33}<N_{03}N_{30}$ и side-corner $N_{03}N_{30}\le N_{00}^2$. 🟡

План закрытия (distribution-free). Модельное неравенство для продукта c+ax+by доказуемо элементарно (Маклорен / отрицательная ассоциация). Остаётся один шаг модель→реальность: показать, что точные CRT-счёты совпадают с этим продуктом до порядка, не переворачивающего знак ранг-2 поправки. Формально это разбирается в 14 через точную декомпозицию остатка $N_{ij}^{\text{real}}=N_{ij}^{\text{model}}+e_{ij}$; задача — оценить e_{ij} так, чтобы $\mathrm{sgn}\Delta_{\mathrm{fc}}$ сохранился.

Итог раздела. Мы не выдаём редукцию за доказательство: пока доказана только алгебра перехода и модельный знак; контроль остатка e_{ij} — открытый фронт, но кандидат distribution-free, а не плотностной.

Мост к следующей главе¶

Тем самым содержание задачи снова локализовалось — теперь в один корреляционный факт: отрицательную ассоциацию рангов $(r_-,r_+)$ на реальных счётах. Мы уже видели, что её корень — исключающая per-prime структура двойки: продукт c+ax+by без члена xy.

В следующей главе 13 мы поднимем это наблюдение на уровень фрактального слоя двигателя: покажем, что та же двойка организует самоподобную рекурсию выживателей вверх по простым ($q\to q-2$) и конечный blocker-коллапс вниз по масштабу, и что именно эта фрактальная эксклюзивность — общий источник как направления $R_{\mathrm{fc}}\le1$, так и конечности глубины спуска (EPMI — невозможность вечного двигателя, см. словарь).