Первый закон: сохранение двойки¶

← 02. Носитель двойки · Оглавление · 04. Спуск и boundary-law →

Lean-источник: EuclidsPath/Engine/TwoGap.lean. Все утверждения этой главы — элементарная кольцевая алгебра над ℤ и ℕ (ring, linear_combination, omega, mul_left_cancel₀); ни анализа, ни распределения, ни сита.

В предыдущей главе (02, носитель) мы установили, что двойка — это то, что разделяет стороны близнеца: любой общий делитель 6m−1 и 6m+1 делит их разность, а значит $\gcd(6m-1,6m+1)\mid 2$. Двойка там выступала как барьер эксклюзивности.

Здесь мы поворачиваем взгляд: та же двойка есть не только разность двух чисел в одной точке, но и инвариант, переносимый вдоль спуска. Мы покажем, что во всех координатах, в которых двигатель Евклида — напомним, главный запрещённый объект программы, бесконечная строго убывающая цепь (см. словарь) — описывает движение центра, повторяется одно и то же тождество — детерминант вида XY-ZW=2. Это и есть первый закон программы: сохранение двойки.

Постановка: что именно сохраняется¶

Напомним центровую форму. Каждый близнец задаётся центром m так, что стороны суть 6m-1 и 6m+1. Разность сторон тождественно равна двум: $$(6m+1)-(6m-1)=2.$$

Это тривиально как арифметика чисел. Нетривиально то, что при переходе к мультипликативным координатам — когда одна или обе стороны раскладываются в произведения активных простых слоя (A,A^2] — эта двойка не исчезает и не размывается, а проступает как детерминант линейной системы, связывающей множители. Именно детерминантная форма делает двойку жёсткой: детерминант нельзя «слегка подвинуть», он либо равен 2, либо решения нет.

Мы будем называть первым законом совокупность тождеств TwoGap.lean, каждое из которых утверждает: в своей паре координат разность двух «диагональных произведений» равна фиксированной константе, кратной двойке. Формально во всех формах это XY-ZW=2K, где базовый случай K=1 даёт ровно XY-ZW=2.

Примечание. Термин «закон» здесь употребляется в физическом смысле сохраняющейся величины, а не в смысле логической аксиомы. Двойка играет роль заряда, который двигатель переносит без потерь; последующие главы (04 спуск, далее второй закон необратимости) добавят к этому заряду направление его движения.

Детерминантный закон rank-(3,3)¶

Начнём с самой прямой формы — «плохой клетки» N_{33}, где обе стороны близнеца составны и раскладываются в произведение трёх множителей каждая.

Определение 3.1 (rank-(3,3) центр). Центр m называется rank-(3,3), если существуют натуральные $a\le b\le v$ и $q\le r\le s$ такие, что $$6m-1=abv,\qquad 6m+1=qrs.\tag{3.1}$$

Здесь ранг (3,3) фиксирует, что левая сторона есть произведение трёх атомов и правая — тоже трёх. Из этого разложения немедленно следует точное диофантово ограничение.

Теорема 3.2 (det_law_rank33). Пусть $1\le m$, 6m-1=abv и 6m+1=qrs. Тогда $$q r s = a b v + 2.\tag{3.2}$$

Что доказано. Два мультипликативных разложения принудительно связаны аддитивно: произведение множителей правой стороны ровно на два больше произведения множителей левой. В Lean доказательство — одна строка omega: система 6m-1=abv, 6m+1=qrs над натуральными числами (с условием $1\le m$, снимающим неоднозначность вычитания 6m-1 в ℕ) линейно влечёт qrs=abv+2.

Почему так. Разность qrs-abv равна разности сторон (6m+1)-(6m-1)=2 — но теперь эта двойка выражена через множители, а не через m. Мы «забыли» центр m и оставили только мультипликативную запись; двойка при этом уцелела и стала связью между двумя произведениями.

Что это значит. Уравнение qrs=abv+2 — это первое проявление жёсткости. Оно означает, что нельзя выбирать шесть множителей a,b,v,q,r,s независимо: как только зафиксированы пять, шестой определён (или отсутствует) уравнением на двойку. Именно этот запас жёсткости последующие главы обменивают на верхние оценки числа rank-(3,3) центров.

Примечание. Обратный переход тоже содержателен: всякое допустимое решение qrs=abv+2 восстанавливает центр m=(abv+1)/6=(qrs-1)/6, если выполнена congruence-admissibility (правильные вычеты по модулю 6, чтобы abv+1 делилось на 6). Так уравнение на двойку становится определяющим уравнением клетки N_{33}, а не просто её следствием.

Абстрактная форма: `Cb − Dr = −2`¶

Тройное произведение неудобно для линейной алгебры. Свернём по одному множителю с каждой стороны в «продукт-переменные» и получим билинейную форму, в которой двойка становится буквальным детерминантом $2\times 2$.

Определение 3.3 (продукт-координаты). Для rank-(3,3) центра положим C=av, D=qs. Тогда стороны записываются как Cb=6m-1 и Dr=6m+1, где b и r — оставшиеся «свободные» множители.

Теорема 3.4 (det_law_CD). Над ℤ: если Cb=6m-1 и Dr=6m+1, то $$C b - D r = -2.\tag{3.3}$$

Что доказано. Вычитание второго равенства из первого: Cb-Dr=(6m-1)-(6m+1)=-2. В Lean — linear_combination h1 - h2, ровно эта линейная комбинация двух гипотез.

Почему так и что значит. Запишем систему в матричном виде. Строки $(C,\,-D)$ и вектор $(b,\,r)^{\top}$ дают Cb-Dr; знак -2 — это ориентированный детерминант, снесённый на диагональ.

Ключевое следствие — редукция по модулю. При $\gcd(C,D)=1$ $$C b - D r = -2 \;\Longrightarrow\; b \equiv -2\,\overline{C} \pmod{D},\tag{3.4}$$ где $\overline{C}$ — обратный к C вычет по модулю D. То есть свободный множитель b не произволен: он лежит в одном классе вычетов по модулю D=qs.

Вывод. Это и есть тот «zero-one slot», на котором держатся все верхние оценки счётной части: если b обязан попасть в интервал (A,A^2] длины меньше модуля D, то в фиксированном боксе (a,v,q,s) допустим не более одного значения b. Двойка, переехавшая в правую часть сравнения, управляет плотностью решений.

Примечание. Здесь виден мотив всей программы: мы не решаем Cb-Dr=-2 явно и не оцениваем число его решений распределительным аргументом. Мы лишь фиксируем алгебраическую жёсткость (единственность класса вычетов). Переход от жёсткости к счёту центров — отдельный, аналитически тяжёлый шаг, и мы нигде не выдаём одно за другое.

Determinant collapse: перенос двойки вдоль луча¶

Предыдущие две формы описывают двойку в одной точке. Первый закон, однако, — про сохранение при движении. Рассмотрим две точки одного «луча» descent и покажем, что двойка переносится с точки на точку контролируемо.

Определение 3.5 (луч и его шаг). Лучом назовём семейство точек с общими v,s, где i-я точка удовлетворяет rank-one уравнению u_i v+2=r_i s, а переход между двумя точками задаётся целым шагом K: $$u_2-u_1=sK.$$

Теорема 3.6 (det_collapse). Пусть u_1 v+2=r_1 s, u_2 v+2=r_2 s, шаг u_2-u_1=sK и $s\ne 0$. Тогда $$u_2 r_1 - u_1 r_2 = 2K.\tag{3.5}$$

Что доказано. Детерминант, составленный из координат двух точек луча, равен 2K — то есть накопленной за K шагов двойке. При K=1 (соседние точки) это снова u_2r_1-u_1r_2=2.

Почему так. Домножим целевое выражение на s и подставим оба rank-one уравнения: $$s\,(u_2 r_1 - u_1 r_2) = u_2(r_1 s) - u_1(r_2 s) = u_2(u_1 v+2) - u_1(u_2 v+2) = 2(u_2-u_1) = 2sK.$$ Слагаемые с v сокращаются (u_2 u_1 v - u_1 u_2 v=0) — вот где двойка «выживает»: всё, зависящее от масштаба v, гасится, остаётся чистый перенос двойки. Далее сокращаем на $s\ne 0$.

В Lean именно так: тождество $s\cdot(u_2r_1-u_1r_2)=u_2(r_1s)-u_1(r_2s)$ замыкается ring, подстановка гипотез сводит правую часть к $2\cdot(u_2-u_1)$, а linear_combination 2*hK даёт 2sK; финальный mul_left_cancel₀ hs снимает множитель s.

Что это значит. Название collapse точно: величины u_i,r_i могут расти вдоль луча, но их «перекрёстный детерминант» схлопывается к строго линейной по K функции с коэффициентом 2. Двойка — это шаг решётки, по которой движется двигатель. Отсюда и связь со следующей главой: descent есть переход K=1 за шаг, и каждый такой шаг переносит ровно одну двойку.

Точное евклидово тождество спуска: `qΔ − vΞ = 2`¶

Три формы выше — линейные и билинейные. Спуск же по своей природе квадратичен: евклидово деление сравнивает сторону с квадратом масштаба. Следующее тождество — диагональное ядро самоподобия, из-за которого спуск воспроизводит сам себя на меньшем масштабе.

Определение 3.7 (евклидово разложение шага). Пусть выполнено rank-one уравнение abv+2=qP. Разложим P и ab по масштабу v: $$P=v^{2}+\Delta,\qquad ab=qv+\Xi,$$ где $\Delta$ — остаток P относительно квадрата v^2, а $\Xi$ — остаток ab относительно qv. Величины $\Delta,\Xi$ суть «евклидовы остатки» шага.

Теорема 3.8 (euclid_descent_identity). При abv+2=qP, $P=v^{2}+\Delta$, $ab=qv+\Xi$: $$q\,\Delta - v\,\Xi = 2.\tag{3.6}$$

Что доказано. Двойка, стоящая в rank-one уравнении, полностью выражается через евклидовы остатки $\Delta,\Xi$ и «диагональные» коэффициенты q,v. В Lean — linear_combination -h1 - q*h2 + v*h3: подстановка обоих разложений в rank-one уравнение и приведение подобных дают ровно $q\Delta-v\Xi=2$.

Почему так. Раскроем $qP=q(v^2+\Delta)=qv^2+q\Delta$ и $abv=(qv+\Xi)v=qv^2+\Xi v$. Тогда $$abv+2=qP \iff (qv^{2}+\Xi v)+2 = qv^{2}+q\Delta,$$ и qv^2 сокращается с обеих сторон — снова гасится всё, что несёт основной масштаб, и остаётся $\Xi v+2=q\Delta$, то есть $q\Delta-v\Xi=2$.

Что это значит. Это тождество — диагональное ядро самоподобного спуска. Оно говорит, что после одного евклидова шага двойка воспроизводится на паре остатков $(\Delta,\Xi)$, которые сами меньше исходных данных. То есть спуск отображает задачу «двойка на (a,b,v,q)» в структурно ту же задачу «двойка на $(\ldots,\Delta,\Xi)$» меньшего размера. Именно эта воспроизводимость обеспечивает, что двигатель Евклида не теряет своего заряда при уменьшении высоты — предмет следующей главы.

Примечание. Стоит подчеркнуть роль знака и константы. Во всех формах правая часть — положительная фиксированная двойка (или её кратное 2K, 12h). Ни в одной из них она не может обратиться в ноль нетривиально: это исключило бы $\gcd\mid 2$ из главы 02 и означало бы совпадение сторон. Невозможность обнуления двойки — алгебраический предшественник необратимости (второй закон): назад двигатель не идёт именно потому, что двойка не схлопывается в ноль.

Small determinant collapse для повторного atom: `B₂Q₁ − B₁Q₂ = 12h`¶

Последняя форма покрывает вырожденный, но важный случай: когда один и тот же простой атом a появляется дважды и центры связаны через общий «мост» qs. Здесь двойка переносится не как 2, а как её масштабированная тень 12h (двенадцать — это $6\cdot 2$, где шестёрка приходит от шага центровой решётки 6).

Определение 3.9 (bridge-уравнение и его сдвиг). Пусть повторный атом a связывает две точки bridge-уравнениями $$a\,B_1=qs\,Q_1-2,\qquad a\,B_2=qs\,Q_2-2,$$ а сдвиг вдоль моста кратен 6qs: $$B_2-B_1=6\,(qs)\,h.$$

Теорема 3.10 (small_det_collapse). При $a\ne 0$, $qs\ne 0$ и указанных уравнениях: $$B_2 Q_1 - B_1 Q_2 = 12\,h.\tag{3.7}$$

Что доказано. Перекрёстный детерминант точек (B_i,Q_i) снова линеен по шагу h, с коэффициентом 12. Двойка из bridge-уравнений и шестёрка из шага решётки перемножились в 12.

Почему так. Доказательство идёт в два сокращения. Сначала из bridge-уравнений и сдвига выводится сопряжённый сдвиг по Q: $$qs\,(Q_2-Q_1)=qs\cdot 6ah \;\Longrightarrow\; Q_2-Q_1=6ah$$ (сокращение на $qs\ne 0$; в Lean linear_combination e1 - e2 + a*hsh, затем mul_left_cancel₀ hqs). Затем целевой детерминант, домноженный на a, приводится к $a\cdot 12h$: $$a\,(B_2 Q_1 - B_1 Q_2) = Q_1(a B_2)-Q_2(a B_1)+2(Q_2-Q_1)=\ldots=a\cdot 12h$$ (комбинация Q1*e2 - Q2*e1 + 2*hQ), после чего сокращаем на $a\ne 0$.

Что это значит. Даже в вырожденном режиме повторного атома первый закон не ломается: двойка сохраняется, лишь переодевшись в 12h из-за арифметики шага 6. Условия $a\ne 0$, $qs\ne 0$ — не техническая мелочь, а содержательное требование активности атома и моста: сокращать можно только на ненулевые множители, и именно ненулевость атома a>A (из главы 04) легитимирует collapse.

Итог: единая форма первого закона¶

Собрав пять тождеств, мы видим один и тот же скелет в разных координатах:

Форма (Lean)	Координаты	Тождество
`det_law_rank33`	множители rank-(3,3)	`qrs = abv + 2`
`det_law_CD`	продукт-переменные `C=av`, `D=qs`	`Cb - Dr = -2`
`det_collapse`	две точки луча, шаг `K`	`u₂r₁ - u₁r₂ = 2K`
`euclid_descent_identity`	евклидовы остатки `Δ,Ξ`	`qΔ - vΞ = 2`
`small_det_collapse`	повторный атом, шаг `h`	`B₂Q₁ - B₁Q₂ = 12h`

Во всех формах это XY-ZW=2K: перекрёстный детерминант двух мультипликативных состояний равен фиксированной двойке (или её кратному вдоль шага). Двойка не создаётся и не уничтожается двигателем — она переносится. Это и есть первый закон в полной аналогии с законом сохранения: величина инвариантна, движение лишь переносит её из одной пары координат в другую.

Примечание (что здесь строго, а что нет). Все пять теорем доказаны машинно, без sorry, средствами кольцевой арифметики — это чистая алгебра сохранения, и мы её не переоцениваем. Первый закон не содержит никакого счётного или распределительного утверждения: он не говорит, сколько rank-(3,3) центров существует, и не оценивает плотность решений Cb-Dr=-2. Он лишь фиксирует жёсткость, которую последующие, аналитически нетривиальные главы будут обменивать на оценки. Смешивать сохранение двойки со счётом центров было бы подменой редукции доказательством; мы этого не делаем.

Первый закон дал нам сохраняющуюся величину, но не её направление: тождества XY-ZW=2K симметричны по знаку K и сами по себе допускают движение вверх и вниз.

В следующей главе (04, спуск) мы добавим к сохранению двойки строгое падение высоты: если одна сторона центра $m\in\Omega_A$ составна и $6m+\sigma=a(6n+\varepsilon)$ с активным a>A, то n<m/A, а перенос двойки на противоположную сторону $6n-\varepsilon=(6n+\varepsilon)-2\varepsilon$ схлопывает всю обструкцию в единственную делимость (boundary-law). Так первый закон превратится в направленный шаг двигателя — и подготовит второй закон, необратимость.